Конечная математика Примеры

Найти собственные значения [[-3,-5],[2,0]]
[-3-520][3520]
Этап 1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения p(λ)p(λ).
p(λ)=определитель(A-λI2)
Этап 2
Единичная матрица размера 2 представляет собой квадратную матрицу 2×2 с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
[1001]
Этап 3
Подставим известное значение в p(λ)=определитель(A-λI2).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Подставим [-3-520] вместо A.
p(λ)=определитель([-3-520]-λI2)
Этап 3.2
Подставим [1001] вместо I2.
p(λ)=определитель([-3-520]-λ[1001])
p(λ)=определитель([-3-520]-λ[1001])
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Умножим -λ на каждый элемент матрицы.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])
Этап 4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.1
Умножим -1 на 1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ-λ0-λ0-λ1])
Этап 4.1.2.2
Умножим -λ0.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.2.1
Умножим 0 на -1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ0λ-λ0-λ1])
Этап 4.1.2.2.2
Умножим 0 на λ.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ0-λ0-λ1])
Этап 4.1.2.3
Умножим -λ0.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.3.1
Умножим 0 на -1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00λ-λ1])
Этап 4.1.2.3.2
Умножим 0 на λ.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ1])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ1])
Этап 4.1.2.4
Умножим -1 на 1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ])
Этап 4.2
Сложим соответствующие элементы.
p(λ)=определитель[-3-λ-5+02+00-λ]
Этап 4.3
Simplify each element.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Добавим -5 и 0.
p(λ)=определитель[-3-λ-52+00-λ]
Этап 4.3.2
Добавим 2 и 0.
p(λ)=определитель[-3-λ-520-λ]
Этап 4.3.3
Вычтем λ из 0.
p(λ)=определитель[-3-λ-52-λ]
p(λ)=определитель[-3-λ-52-λ]
p(λ)=определитель[-3-λ-52-λ]
Этап 5
Find the determinant.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Определитель матрицы 2×2 можно найти, используя формулу |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(-3-λ)(-λ)-2-5
Этап 5.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=-3(-λ)-λ(-λ)-2-5
Этап 5.2.1.2
Умножим -1 на -3.
p(λ)=3λ-λ(-λ)-2-5
Этап 5.2.1.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
p(λ)=3λ-1-1λλ-2-5
Этап 5.2.1.4
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.4.1
Умножим λ на λ, сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.4.1.1
Перенесем λ.
p(λ)=3λ-1-1(λλ)-2-5
Этап 5.2.1.4.1.2
Умножим λ на λ.
p(λ)=3λ-1-1λ2-2-5
p(λ)=3λ-1-1λ2-2-5
Этап 5.2.1.4.2
Умножим -1 на -1.
p(λ)=3λ+1λ2-2-5
Этап 5.2.1.4.3
Умножим λ2 на 1.
p(λ)=3λ+λ2-2-5
p(λ)=3λ+λ2-2-5
Этап 5.2.1.5
Умножим -2 на -5.
p(λ)=3λ+λ2+10
p(λ)=3λ+λ2+10
Этап 5.2.2
Изменим порядок 3λ и λ2.
p(λ)=λ2+3λ+10
p(λ)=λ2+3λ+10
p(λ)=λ2+3λ+10
Этап 6
Примем характеристический многочлен равным 0, чтобы найти собственные значения λ.
λ2+3λ+10=0
Этап 7
Решим относительно λ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
-b±b2-4(ac)2a
Этап 7.2
Подставим значения a=1, b=3 и c=10 в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно λ.
-3±32-4(110)21
Этап 7.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1.1
Возведем 3 в степень 2.
λ=-3±9-411021
Этап 7.3.1.2
Умножим -4110.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1.2.1
Умножим -4 на 1.
λ=-3±9-41021
Этап 7.3.1.2.2
Умножим -4 на 10.
λ=-3±9-4021
λ=-3±9-4021
Этап 7.3.1.3
Вычтем 40 из 9.
λ=-3±-3121
Этап 7.3.1.4
Перепишем -31 в виде -1(31).
λ=-3±-13121
Этап 7.3.1.5
Перепишем -1(31) в виде -131.
λ=-3±-13121
Этап 7.3.1.6
Перепишем -1 в виде i.
λ=-3±i3121
λ=-3±i3121
Этап 7.3.2
Умножим 2 на 1.
λ=-3±i312
λ=-3±i312
Этап 7.4
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
λ=-3-i312,-3+i312
λ=-3-i312,-3+i312
(
(
)
)
|
|
[
[
]
]
7
7
8
8
9
9
4
4
5
5
6
6
/
/
^
^
×
×
>
>
α
α
µ
µ
1
1
2
2
3
3
-
-
+
+
÷
÷
<
<
σ
σ
!
!
,
,
0
0
.
.
%
%
=
=
 [x2  12  π  xdx ]