Введите задачу...
Конечная математика Примеры
[-3-520][−3−520]
Этап 1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения p(λ)p(λ).
p(λ)=определитель(A-λI2)
Этап 2
Единичная матрица размера 2 представляет собой квадратную матрицу 2×2 с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
[1001]
Этап 3
Этап 3.1
Подставим [-3-520] вместо A.
p(λ)=определитель([-3-520]-λI2)
Этап 3.2
Подставим [1001] вместо I2.
p(λ)=определитель([-3-520]-λ[1001])
p(λ)=определитель([-3-520]-λ[1001])
Этап 4
Этап 4.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.1
Умножим -λ на каждый элемент матрицы.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Этап 4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 4.1.2.1
Умножим -1 на 1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Этап 4.1.2.2
Умножим -λ⋅0.
Этап 4.1.2.2.1
Умножим 0 на -1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
Этап 4.1.2.2.2
Умножим 0 на λ.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
Этап 4.1.2.3
Умножим -λ⋅0.
Этап 4.1.2.3.1
Умножим 0 на -1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00λ-λ⋅1])
Этап 4.1.2.3.2
Умножим 0 на λ.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ⋅1])
Этап 4.1.2.4
Умножим -1 на 1.
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ])
p(λ)=определитель([-3-520]+[-λ00-λ])
Этап 4.2
Сложим соответствующие элементы.
p(λ)=определитель[-3-λ-5+02+00-λ]
Этап 4.3
Simplify each element.
Этап 4.3.1
Добавим -5 и 0.
p(λ)=определитель[-3-λ-52+00-λ]
Этап 4.3.2
Добавим 2 и 0.
p(λ)=определитель[-3-λ-520-λ]
Этап 4.3.3
Вычтем λ из 0.
p(λ)=определитель[-3-λ-52-λ]
p(λ)=определитель[-3-λ-52-λ]
p(λ)=определитель[-3-λ-52-λ]
Этап 5
Этап 5.1
Определитель матрицы 2×2 можно найти, используя формулу |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(-3-λ)(-λ)-2⋅-5
Этап 5.2
Упростим определитель.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=-3(-λ)-λ(-λ)-2⋅-5
Этап 5.2.1.2
Умножим -1 на -3.
p(λ)=3λ-λ(-λ)-2⋅-5
Этап 5.2.1.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
p(λ)=3λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅-5
Этап 5.2.1.4
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.4.1
Умножим λ на λ, сложив экспоненты.
Этап 5.2.1.4.1.1
Перенесем λ.
p(λ)=3λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅-5
Этап 5.2.1.4.1.2
Умножим λ на λ.
p(λ)=3λ-1⋅-1λ2-2⋅-5
p(λ)=3λ-1⋅-1λ2-2⋅-5
Этап 5.2.1.4.2
Умножим -1 на -1.
p(λ)=3λ+1λ2-2⋅-5
Этап 5.2.1.4.3
Умножим λ2 на 1.
p(λ)=3λ+λ2-2⋅-5
p(λ)=3λ+λ2-2⋅-5
Этап 5.2.1.5
Умножим -2 на -5.
p(λ)=3λ+λ2+10
p(λ)=3λ+λ2+10
Этап 5.2.2
Изменим порядок 3λ и λ2.
p(λ)=λ2+3λ+10
p(λ)=λ2+3λ+10
p(λ)=λ2+3λ+10
Этап 6
Примем характеристический многочлен равным 0, чтобы найти собственные значения λ.
λ2+3λ+10=0
Этап 7
Этап 7.1
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
-b±√b2-4(ac)2a
Этап 7.2
Подставим значения a=1, b=3 и c=10 в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно λ.
-3±√32-4⋅(1⋅10)2⋅1
Этап 7.3
Упростим.
Этап 7.3.1
Упростим числитель.
Этап 7.3.1.1
Возведем 3 в степень 2.
λ=-3±√9-4⋅1⋅102⋅1
Этап 7.3.1.2
Умножим -4⋅1⋅10.
Этап 7.3.1.2.1
Умножим -4 на 1.
λ=-3±√9-4⋅102⋅1
Этап 7.3.1.2.2
Умножим -4 на 10.
λ=-3±√9-402⋅1
λ=-3±√9-402⋅1
Этап 7.3.1.3
Вычтем 40 из 9.
λ=-3±√-312⋅1
Этап 7.3.1.4
Перепишем -31 в виде -1(31).
λ=-3±√-1⋅312⋅1
Этап 7.3.1.5
Перепишем √-1(31) в виде √-1⋅√31.
λ=-3±√-1⋅√312⋅1
Этап 7.3.1.6
Перепишем √-1 в виде i.
λ=-3±i√312⋅1
λ=-3±i√312⋅1
Этап 7.3.2
Умножим 2 на 1.
λ=-3±i√312
λ=-3±i√312
Этап 7.4
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
λ=-3-i√312,-3+i√312
λ=-3-i√312,-3+i√312